Đáp án Đề thi Đại học Môn Toán khối A năm 2011

PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số

.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi

và

lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng

đạt giá trị lớn nhất.

Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 5x^2y-4xy^2+3y^3-2(x+y)=0 & \\ xy(x^2+y^2)+2=(x+y)^2 & \end{matrix}\right.$

Câu III (1 điểm)
Tính tích phân

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua M và song song với BC, cắt AN tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

và đường tròn

. Gọi I là tâm đường tròn (C), M là điểm thuộc

. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

và mặt phẳng

. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
Câu VII.a (1 điểm) Tìm tất cả các số phức z biết:

.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip

. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Câu VII.b (1 điểm) Tính mô đun của số phức z, biết:

.

Gợi ý giải và đáp án Đề thi Đại học Môn Toán khối A năm 2011
Câu II:
1.

;

2. Từ phương trình thứ hai suy ra

. Từ đó giải ra được hệ có 4 nghiệm:
$(1;1), (-1;-1); (\dfrac{2\sqrt{10}}{5};\dfrac{\sqrt{10}}{5}); (-\dfrac{2\sqrt{10}}{5};-\dfrac{\sqrt{10}}{5})$

Câu III:
$I=\dfrac{\pi}{4}+ln|\dfrac{\pi+4}{4\sqrt{2}}|$

Câu IV: Theo giả thiết ta suy ra SA vuông góc với (ABC)

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) suy ra

.
Câu VI.a
1.
Từ giả thiết diện tích của MAIB suy ra IM = 5 suy ra M thuộc đường tròn tâm I bán kính R=5, đồng thời M thuộc

. Tìm giao điểm của hai đường này suy ra tọa độ của M.

hoặc

.
2.
MA = MB suy ra M nằm trên mặt phẳng trung trực (Q) của AB. Suy ra M thuộc giao tuyến của (P) và (Q).
Viết phương trình mặt phẳng (Q). Tìm giao tuyến d của (P) và (Q). M thuộc d nên có tọa độ theo tham số.
Giải tham số theo giả thiết MA = 3.
Đáp số